Расставьте в клетках фигуры числа от 2 до 11, каждое по одному разу, так, чтобы в любой полоске из трех клеток (горизонтальной или вертикальной) сумма делилась на 3.
После нескольких игровых дней однокругового чемпионата выяснилось, что любые пять команд можно так расположить по кругу , чтобы каждая команда сыграла со стоящим справа и слева. Докажите, что чемпионат можно завершить в три дня (в один день команда может сыграть не более одной игры).
В футбольном турнире участвует 20 команд. После того, как все команды провели по две игры, организаторы турнира решили разбить их на три дивизиона, но так, чтобы в одном дивизионе не было команд, уже игравших друг с другом. Всегда ли они могут это сделать?
На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.
В чемпионате России по футболу играют 16 команд. В первом туре все команды сыграли по одной игре. Во втором туре все команды сыграли по игре. Докажите, что можно указать такие 8 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.
Давным давно третья четверть началась в понедельник 10 января, а закончилась в последнюю субботу марта.Какого числа мог быть последний день первой четверти?
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, равен 4. На прямой AB взята точка D, удаленная от прямых AC и BC на расстоянии 3 и 11 соответственно. Найдите косинус угла CBD.
