ВСЕ ЗАДАНИЯ РЕАЛЬНОГО ЕГЭ (ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ) ПО МАТЕМАТИКЕ от 1 июня 2018 года

13: Уравнения, системы уравнений

• 1. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{9\pi }{2};\frac{14\pi }{3};\frac{16\pi }{3};\frac{11\pi }{2} \) а) Решите уравнение \(2\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{6} \right )+ \cos x =\sqrt{3}\sin (2x)-1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [4\pi;\frac{11\pi }{2} \right ] \).
  2. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{\pi }{3}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2};\frac{11\pi }{3} \) а) Решите уравнение \( 2\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{6} \right )-\cos x =\sqrt{3}\sin (2x)-1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [\frac{5\pi }{2}; 4\pi\right ] \).
  3. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2};-\frac{5\pi }{4} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )+\sqrt{2}\cos x= \sin (2x)-1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [-\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ] \).
  4. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{7\pi }{6};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )+\sqrt{3}\cos x= \sin (2x)-1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ \pi; \frac{5\pi }{2} \right ] \).
  5. а) \( \pm \frac{\pi }{2}+2\pi k; \pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{11\pi }{2}; -\frac{16\pi }{3}; -\frac{14\pi }{3}; -\frac{9\pi }{2} \)а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )+\cos x= \sin (2x)-1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [-\frac{11\pi }{2}; -4\pi \right ] \).
  6. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{\pi }{6}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{23\pi }{6};-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2} \) а) Решите уравнение \( 2\sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )-3\cos x= \sin (2x)-\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [-4\pi; -\frac{5\pi }{2} \right ] \).
  7. а) \(\frac{\pi }{2}+\pi k; \, \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k;\, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{13\pi }{4};\frac{7\pi }{2};\frac{9\pi }{2} \) а) Решите уравнение \(2\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )+\sqrt{6}\cos x=\sin (2x)-\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [3\pi ; \frac{9\pi }{2} \right ] \).
• 1. а) \( (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{13\pi}{4} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin x+2\sin\left ( 2x-\frac{\pi}{6} \right )=\sqrt{3}\sin(2x)+1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right ] \).
  2. а) \( \pi k; (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( 2\pi; 3\pi; \frac{7\pi}{4} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin\left ( 2x+\frac{\pi}{4} \right )-\sqrt{2}\sin x=\sin(2x)+1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right ] \).
  3. а) \( \pi k, (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -3\pi; -2\pi; -\frac{5\pi}{3} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{3}\sin x+2\sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )=\sqrt{3}\sin(2x)+1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi}{2}\right ] \).
  4. а) \( \pi k; (-1)^{k} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k; k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{19\pi }{6}; -3\pi ; -2\pi \) а) Решите уравнение \( \sin x+2\sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )=\sqrt{3}\sin(2x)+1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right ] \).
  5. а) \( \pi k; (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k; k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{19\pi }{6}; 3\pi ; 2\pi \) а) Решите уравнение \( 2\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )-\sqrt{3}\sin x = \sin (2x)+\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [2\pi ; \frac{7\pi }{2} \right ] \).
  6. а) \( \pi k; (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -3\pi; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}; -2\pi \) а) Решите уравнение \( \sqrt{6}\sin x+2\sin \left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right ) = \sin (2x)-\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -\frac{7\pi}{2};-2\pi \right ] \).
• 1. а) \(\pm \frac{\pi}{2}+2\pi k; \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2};\frac{14\pi}{3} \) а) Решите уравнение \( \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})+\cos(2x)=\sin x -1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right ]\).
  2. а) \( \pm \frac{\pi }{2}+2\pi k; \pm \frac{5\pi }{6} +2\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{3\pi}{2};-\frac{5\pi}{2} ;-\frac{17\pi}{6} \)а) Решите уравнение \( 2\sin(x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x)=\sin x -1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right ] \).
  3. а) \( \frac{\pi}{2}+\pi k; \pm \frac{\pi}{3} +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{5\pi}{2};-\frac{5\pi}{3};-\frac{7\pi}{3} \) а) Решите уравнение \( 2\sin(x+\frac{\pi}{3})-\sqrt{3}\cos(2x)=\sin x +\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right ] \).
  4. а) \( \frac{\pi}{2}+\pi k; \pm \frac{\pi}{4} +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2};\frac{15\pi}{4} \) а) Решите уравнение \( 2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{6})-\cos(2x)=\sqrt{6}\sin x +1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [\frac{5\pi}{2}; 4\pi; \right ] \).
• 1. а)\( (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi }{3}+\pi k ; \pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{11\pi }{3}; 4\pi ; 5\pi \) а) Решите уравнение \( \sqrt{6}\sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )-2\cos^{2} x=\sqrt{3}\cos x-2 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ \frac{7\pi }{2};5\pi \right ] \).
  2. а) \( \pi k; (-1)^k \cdot \frac{\pi }{4}+\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -3\pi; -2\pi; -\frac{7\pi}{4} \) а) Решите уравнение \( 2\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )+2\cos^{2} x=\sqrt{6}\cos x+2 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -3\pi ; \frac{-3\pi }{2} \right ] \).
  3. а) \( \frac{3\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{6}+2\pi k, \frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{5\pi}{2};-\frac{11\pi}{6} ;-\frac{7\pi}{6} \) а) Решите уравнение \( 2\sin\left ( x+\frac{\pi}{6} \right )-2\sqrt{3}\cos^2 x=\cos x -\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right ] \).
  4. а) \( 2\pi k; \frac{\pi}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{7\pi}{2};;-\frac{5\pi}{2}; -4\pi \) а) Решите уравнение \( \cos^2 x + \sin x=\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right ) \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\).
  5. а) \( \pi k; (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{6}+\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -2\pi; -\pi ;-\frac{13\pi}{6} \) а) Решите уравнение \( 2\sin\left ( x+\frac{\pi}{6} \right )-2\sqrt{3}\cos^2 x=\cos x -2\sqrt{3} \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -\frac{5\pi}{2};-\pi \right ] \).
• 1. а) \( \pi k; - \frac{\pi}{6}+2\pi k; -\frac{5\pi}{6} +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{5\pi}{6};-2\pi; -\pi \) а) Решите уравнение \( 2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=\cos x \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -2\pi;-\frac{\pi}{2} \right ]\).
  2. а) \( \pi k; \frac{\pi}{4}+2\pi k; \frac{3\pi}{4} +2\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{17\pi}{4};3\pi; 4\pi \) а) Решите уравнение \( \sqrt{6}\sin^2 x+\cos x =2\sin\left ( x+\frac{\pi}{6} \right ) \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \(\left [ -2\pi;-\frac{\pi}{2} \right ]\).
• 1. а) \( \pi k; \pm \frac{\pi}{3} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( 3\pi; \frac{10\pi}{3};\frac{11\pi}{3};4\pi; \frac{13\pi}{3} \) а) Решите уравнение \( 4\sin^3 x=3\cos\left ( x-\frac{\pi}{2} \right ) \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right ] \).
  2. а) \( \frac{\pi}{2} +\pi k, \pm \frac{\pi}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( \frac{5\pi}{2}; \frac{11\pi}{4};\frac{13\pi}{4};\frac{7\pi}{2};\frac{15\pi}{4} \) а) Решите уравнение \(2\sin^3 \left ( x+\frac{3\pi}{2} \right )+\cos x=0 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right ] \).
• 1. а) \( \frac{\pi}{2} +\pi k, \pm \frac{\pi}{4} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{15\pi}{4};-\frac{7\pi}{2};-\frac{13\pi}{4};-\frac{11\pi}{4};-\frac{5\pi}{2}; \) а) Решите уравнение \( 2\cos^3 x=\sin \left ( \frac{\pi}{2}-x \right ) \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ] \).
  2. а) \( \pi k, \pm \frac{\pi}{6} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{19\pi}{6};-3\pi; -\frac{17\pi}{6};-\frac{13\pi}{6};-2\pi; \) а) Решите уравнение \( 4\cos^3\left ( x+\frac{\pi}{2} \right )+\sin x=0 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right ] \).
• 1. а) \( \frac{\pi}{2}+\pi k; \frac{\pi}{4} +\pi k,k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -\frac{7\pi}{2};-\frac{11\pi}{4};-\frac{9\pi}{4} \) а) Решите уравнение \( \sin 2x+2\sin\left ( 2x-\frac{\pi}{6} \right )=\sqrt{3}\sin(2x)+1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right ] \).
• 1. а) \( \pi k; (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -3\pi; -2\pi; -\frac{11\pi}{6} \) а) Решите уравнение \( 2\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )+\cos(2x)=1+\sqrt{3}\cos x \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right ] \).
  2. а) \(\pi k; (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{3} +\pi k, k\in \mathbb{Z} \)
     б) \( -3\pi;-\frac{8\pi}{3};-\frac{7\pi}{3}; -2\pi \) а) Решите уравнение \( 2\sqrt{3}\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )-\cos(2x)=3\cos x -1 \).
     б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку \( \left [ -3\pi;-\frac{3\pi}{2} \right ] \).

14: Углы и расстояния в пространстве

• 1. \(\frac{420}{29}\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \( AC_1 \), если \( AB=21, B_1C_1=16, BB_1=12 \).
  2. 12 В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \( AC_1 \), если \( AB=15, B_1C_1=12, BB_1=16 \).
  3. \(\frac{120}{17}\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \( AC_1 \), если \( AB=8, B_1C_1=9, BB_1=12 \).
  4. \(\frac{60}{13}\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \( AC_1 \), если \( AB=12, B_1C_1=3, BB_1=4 \).
• 1. \(\arctan \frac{17}{6}\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите угол между прямой \( AC_1 \)и \( BB_1 \), если \( AB=8, B_1C_1=15, BB_1=6 \).
  2. \(\arctan \frac{2}{3}\)В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что угол \( ABC_1 \) прямой.
     б) Найдите угол между прямой \( AC_1 \)и \( BB_1 \), если \( AB=6, B_1C_1=8, BB_1=15 \).
• 1. 7.2В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BB_1\), если \(AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8\).
  2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите расстояние между прямыми \(AC_1\) и \(BB_1\), если \(AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1\).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \(AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15\).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если \(AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15\).
• 1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите объём цилиндра, если \(AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15\).
  2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите объём цилиндра, если \(AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10\).
  3. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \( B_1 \) и \( C_1 \), причем \( BB_1 \)— образующая цилиндра, а отрезок \( AC_1 \) пересекает ось цилиндра.
     а) Докажите, что прямые \(AB\) и \(B_1C_1\) перпендикулярны.
     б) Найдите объём цилиндра, если \(AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20\).
• 1. \(\sqrt{5}\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) , \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания – точка \(C_1\), причем \(CC_1\) – образующая цилиндра, а \(AC\) – диаметр основания. Известно, что угол \(ACB\) равен 30 градусам.
     а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC_1\) равен 45 градусам.
     б) Найдите расстояние от точки B до прямой \(AC_1\), если \(AB = \sqrt{6}, CC_1 = 2\sqrt{3}\).
• 1. \(4\pi\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) , \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания – точка \(C_1\), причем \(CC_1\) – образующая цилиндра, а \(AC\) – диаметр основания. Известно, что угол \(ACB\) равен 30°, \(AB = \sqrt{2}, CC_1 = 2\).
     а) Докажите, что угол между прямыми \(AС_1\) и \(BC_1\) равен 45 градусам.
     б) Найдите объём цилиндра.
  2. \(16\pi\) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) , \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания – точка \(C_1\), причем \(CC_1\) – образующая цилиндра, а \(AC\) – диаметр основания. Известно, что угол \(ACB\) равен 45°, \(AB = 2\sqrt{2}, CC_1 = 4\).
     а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен 60 градусам.
     б) Найдите объём цилиндра.
• 1. \( 2\sqrt{3}\)В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все ребра равны 6.
     а) Докажите, что угол между прямыми \(АС\) и \(BD_1\) равен 60°.
     б) Найдите расстояние между прямыми \(АС\) и \(BD_1\).
• 1. \( \frac{3\sqrt{22}}{5} \) В правильной пирамиде \(SABC\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. На боковом ребре \(SA\) отмечена точка \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(MNK\) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке \(Q\).
     а) Докажите, что точка \(Q\) лежит на высоте пирамиды.
     б) Найдите \(QP\), где \(P\) – точка пересечения плоскости \(MNK\) и ребра \(SC\), если \(AB=SK=6 \) и \(SA=8\).
• 1. \( \frac{24\sqrt{39}}{7} \) В правильной пирамиде \(SABC\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. На боковом ребре \(SA\) отмечена точка \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(MNK\) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке \(Q\).
     а) Докажите, что точка \(Q\) лежит на высоте пирамиды.
     б) Найдите объём пирамиды \(QMNB\), если \(AB=12,SA=10 \) и \(SK=2\).
• 1. \( \arctan 2\sqrt{11} \) В правильной пирамиде \(SABC\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. На боковом ребре \(SA\) отмечена точка \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(MNK\) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке \(Q\).
     а) Докажите, что точка \(Q\) лежит на высоте пирамиды.
     б) Найдите угол между плоскостями \(MNK\) и \(ABC\), если \(AB=6, SA=12 \) и \(SK=3\).
• 1. \( \frac{162\sqrt{51}}{25} \) В правильной пирамиде \(SABC\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. На боковом ребре \(SA\) отмечена точка \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(MNK\) является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке \(Q\).
     а) Докажите, что точка \(Q\) лежит на высоте пирамиды.
     б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(MNK\), если \(AB=12, SA=15 \) и \(SK=6\).

15: Неравенства

• 1. \( (-\infty ;-12]\cup \left ( -\frac{35}{8};0 \right ]\)Решите неравенство \( \log _{11} (8x^2+7)-\log _{11} \left ( x^2+x+1\right )\geq \log _{11} \left ( \frac{x}{x+5}+7 \right ) \).
  2. \( (-\infty ;-50]\cup \left ( -\frac{49}{8};0 \right ]\)Решите неравенство \( \log _{5} (8x^2+7)-\log _{5} \left ( x^2+x+1\right )\geq \log _{5} \left ( \frac{x}{x+7}+7 \right ) \).
  3. \( (-\infty;-27]\cup \left ( -\frac{80}{11};0 \right ]\)Решите неравенство \( \log _7 (11x^2+10)-\log _7 \left ( x^2+x+1\right )\geq \log _7 \left ( \frac{x}{x+8}+10 \right ) \).
  4. \( (-\infty ;-23]\cup \left ( -\frac{160}{17};0 \right ]\)Решите неравенство \( \log _2 (17x^2+16)-\log _2 \left ( x^2+x+1\right )\geq \log _2 \left ( \frac{x}{x+10}+16 \right ) \).
• 1. \(\left [\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty \right ) \)Решите неравенство \( 2\log _2 (x\sqrt{3})-\log _2 \left ( \frac{x}{x+1}\right )\geq \log _2 \left (3x^2+\frac{1}{x} \right ) \).
  2. \(\left ( 0; \frac{1}{4} \right ]\cup \left [\frac{1}{\sqrt{3}};1 \right ) \)Решите неравенство \( 2\log_3(x\sqrt{3})-\log_3\left ( \frac{x}{1-x} \right )\leq \log_3 \left ( 9x^{2}+\frac{1}{x}-4 \right ) \).
  3. \(\left ( 0; \frac{1}{5} \right ]\cup \left [ \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right ) \)Решите неравенство \( 2\log_7(x\sqrt{2})-\log_7\left ( \frac{x}{1-x} \right )\leq \log_7 \left ( 8x^{2}+\frac{1}{x}-5 \right ) \).
  4. \(\left ( 0; \frac{1}{\sqrt{5}} \right ]\cup \left [\frac{1}{2};1 \right ) \)Решите неравенство \( 2\log_2(x\sqrt{5})-\log_2\left ( \frac{x}{1-x} \right )\leq \log_2 \left ( 5x^{2}+\frac{1}{x}-2 \right ) \).
  5. \(\left ( 0; \frac{1}{3} \right ]\cup \left [\frac{1}{2};1 \right ) \)Решите неравенство \( 2\log_5(2x)-\log_5\left ( \frac{x}{1-x} \right )\leq \log_5 \left ( 8x^{2}+\frac{1}{x}-3 \right ) \).
• 1. \( (0; 1] \cup [2; 1+\sqrt{2}) \)Решите неравенство \( \log _7 (3-x)+\log _7 \left ( \frac{1}{x}\right )\geq \log _7 \left ( \frac{1}{x}-x+2 \right ) \).
  2. \( (0;1] \cup \left [3;\frac{3+\sqrt{13}}{2} \right ) \)Решите неравенство \( \log _5 (4-x)+\log _5 \left ( \frac{1}{x}\right )\geq \log _5 \left ( \frac{1}{x}-x+3 \right ) \).
  3. \([1; 3] \)Решите неравенство \( \log _5 (4-x)+\log _5 \left ( \frac{1}{x}\right )\leq \log _5 \left ( \frac{1}{x}-x+3 \right ) \).
• 1. \((1; 1.5] \cup [4;+\infty) \)Решите неравенство \( \log _3 (x^2+2)-\log _3 \left ( x^2-x+12\right )\geq \log _3 \left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \).
  2. \( \left (\frac{1}{2}; \frac{4}{3} \right ]\cup [3; +\infty ) \)Решите неравенство \( \log _7 (2x^2+12)-\log _7 \left ( x^2-x+12\right )\geq \log _7 \left ( 2-\frac{1}{x} \right ) \).
  3. \( (0.5;+\infty) \)Решите неравенство \( \log _2 (2x^2+4)-\log _2 \left ( x^2-x+4\right )\geq \log _2 \left ( 2-\frac{1}{x} \right ) \).
  4. \( (1; 2] \cup [ 3.5;+\infty) \)Решите неравенство \( \log _5 (x^2+4)-\log _5 \left ( x^2-x+14\right )\geq \log _5 \left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \).
  5. \( (1; 1.5] \cup [ 4;+\infty) \)Решите неравенство \( \log _3 (x^2+2)-\log _3 \left ( x^2-x+12\right )\geq \log _3 \left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \).
  6. \( \left ( \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right ] \cup \left [ 5; +\infty \right ) \)Решите неравенство \( \log _2 (2x^2+4)-\log _2 \left ( x^2-x+10\right )\geq \log _2 \left ( 2-\frac{1}{x} \right ) \).
• 1. \( (-3; -2]\cup [6; +\infty) \)Решите неравенство \( \log_2 \left (\frac{3}{x}+2 \right )-\log_2(x+4)\geq \log_2\left ( \frac{x+3}{x^2} \right ) \).
  2. \([-2; -1.5)\cup (0; 6] \)Решите неравенство \( \log_2 \left (\frac{3}{x}+2 \right )-\log_2(x+3)\leq \log_2\left ( \frac{x+4}{x^2} \right ) \).
  3. \( [-2; -1)\cup (0; 9] \)Решите неравенство \( \log_5 \left (\frac{2}{x}+2 \right )-\log_5(x+3)\leq \log_5\left ( \frac{x+6}{x^2} \right ) \).
• 1. \(\left ( \frac{\sqrt{6}}{3};1 \right )\cup \left ( 1; +\infty \right )\)Решите неравенство \( \log _5 (3x^2-2)-\log _5 x< \log _5 \left ( 3x^2+\frac{1}{x}-3 \right ) \).
  2. \(\left ( \frac{2}{5}; +\infty \right )\)Решите неравенство \( \log_3 (25x^2-4) -\log_3 x \leq \log_3 \left ( 26x^2+\frac{17}{x}-10 \right ) \).
  3. \(\left ( \frac{5}{7}; +\infty \right )\)Решите неравенство \( \log_7 (49x^2-25) -\log_7 x \leq \log_7 \left ( 50x^2-\frac{9}{x}+10 \right ) \).
• 1. \( \left [ -\frac{1}{6}; -\frac{1}{24} \right )\cup (0;+\infty ) \)Решите неравенство \( \log_5(3x+1)+\log_5 \left ( \frac{1}{72x^{2}}+1 \right )\geq \log_5 \left ( \frac{1}{24x}+1 \right ) \).
  2. \( \left [ -\frac{1}{4}; -\frac{1}{16} \right )\cup (0;+\infty ) \)Решите неравенство \( \log_3(2x+1)+\log_3 \left ( \frac{1}{32x^{2}}+1 \right )\geq \log_3 \left ( \frac{1}{16x}+1 \right ) \).
• 1. \(1\)Решите неравенство \( \log _2 (3-2x)+2\log _2 \left ( \frac{1}{x}\right )\leq \log _2 \left ( \frac{1}{x^{2}}-2x+2 \right ) \).
  2. \( (1; 3] \)Решите неравенство \( \log _2 (x-1)+\log _2 \left ( 2x+\frac{4}{x-1}\right )\geq 2\log _2 \left (\frac{3x-1}{2} \right ) \).
  3. \( \left [ \frac{1+\sqrt{5}}{2}; +\infty \right ) \)Решите неравенство \( \log _2 (x-1)+\log _2 \left ( x^2+\frac{1}{x-1}\right )\leq 2\log _2 \left (\frac{x^2+x-1}{2} \right ) \).
  4. \( \left [ 2; +\infty \right ) \)Решите неравенство \( 2\log _2 (x)+\log _2 \left ( x+\frac{1}{x^2}\right )\leq 2\log _2 \left (\frac{x^2+x}{2} \right ) \).
• 1. \( \left [ \frac{-5+\sqrt{41}}{8}; \frac{1}{2} \right ) \)Решите неравенство \( \log _3 (1-2x)-\log _3 \left ( \frac{1}{x}-2\right )\leq \log _3 (4x^2+6x-1) \).
• 1. \( \left [ \frac{1}{6}; \frac{1}{2} \right ) \)Решите неравенство \( 2\log _2 (1-2x)-\log _2 \left ( \frac{1}{x}-2\right )\leq \log _2 (4x^2+6x-1) \).
• 1. \( (1; +\infty) \)Решите неравенство \( \log _2 (x-1)+\log _2 \left ( 2x+\frac{4}{x-1}\right )\geq \log _2 \left ( \frac{3x-1}{2} \right ) \).
• 1. \( \left [ \frac{11+3\sqrt{17}}{2}; +\infty \right ) \)Решите неравенство \( \log_2 (4x^2-1) -\log_2 x \leq \log_2 \left ( 5x+\frac{9}{x}-11 \right ) \).

18: Уравнения, неравенства, системы с параметром

• 1. $$ \left ( -\frac{4}{3}; -\frac{3}{4}\right ) \cup \left ( \frac{3}{4}; 1\right )\cup \left ( 1; \frac{4}{3}\right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x+ay-5)(x+ay-5a)=0 \\ x^2+y^2=16 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ \left ( -\frac{3\sqrt{7}}{7}; -\frac{\sqrt{7}}{3}\right ) \cup \left ( \frac{\sqrt{7}}{3}; 1\right )\cup \left ( 1; \frac{3\sqrt{7}}{7}\right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x+ay-4)(x+ay-4a)=0 \\ x^2+y^2=9 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  3. $$ \left ( -\frac{3\sqrt{5}}{2}; -\frac{2\sqrt{5}}{15}\right ) \cup \left ( \frac{2\sqrt{5}}{15}; 1\right )\cup \left ( 1; \frac{3\sqrt{5}}{2}\right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x+ay-7)(x+ay-7a)=0 \\ x^2+y^2=45 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  4. $$ \left ( -2\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{2}}{4}\right ) \cup \left ( \frac{\sqrt{2}}{4}; 1\right )\cup \left ( 1; 2\sqrt{2} \right )$$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x+ay-3)(x+ay-3a)=0 \\ x^2+y^2=8 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$ (1-\sqrt{2}; 0) \cup (0; 1.2) \cup (1.2; 3\sqrt{2}-3) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ (4-3\sqrt2; 1-\frac{2}{\sqrt5}) \cup (1-\frac{2}{\sqrt5}; 1+\frac{2}{\sqrt5}) \cup (\frac{2}{3}+\sqrt2; 4+3\sqrt2) $$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2-4ax+6x-(2a+2)y+5a^2-10a+1=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  3. $$ \left ( -\frac{2+\sqrt{2}}{3}; -1 \right )\cup (-1; -0.6) \cup (-0.6; \sqrt{2}-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  4. $$ \left ( \frac{2}{9}; 2 \right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2-8a+4=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  5. $$ \left ( 3-\sqrt2; \frac{8}{5} \right ) \cup \left ( \frac{8}{5}; 2 \right ) \cup \left (2; \frac{3+\sqrt2}{ 2} \right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2-6(a-2)x-2ay+10a^2+32-36a=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  6. $$ (1-\sqrt2; 0) \cup (0; 0.8 ) \cup (0.8; 2\sqrt2-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^2+y^2-2(a-4)x-6ay+10a^2-8a=0 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$ (2; 4)\cup (6; +\infty )$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4-y^4=10a-24 \\ x^2+y^2=a \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ (2; 6-2\sqrt{2})\cup(6+2\sqrt{2};+\infty) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4-y^4=12a-28 \\ x^2+y^2=a \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$ \left ( -\frac{3}{14}(\sqrt2-4); \frac{3}{5} \right ]\cup \left [ 1; \frac{3}{14}(\sqrt2+4) \right ) $$ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4+y^2=a^2 \\ x^2+y=|4a-3| \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$ (4-2\sqrt{2};\frac{4}{3})\cup(4;4+2\sqrt{2}) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4+y^2=a^2 \\ x^2+y=|2a-4| \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  3. $$ (5-\sqrt{2};4)\cup (4;5+\sqrt{2})$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4+y^2=2a-7 \\ x^2+y=|a-3| \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  4. $$ \left ( \frac{1}{7}(4-\sqrt2); \frac{2}{5} \right ) \cup \left ( \frac{2}{5}; \frac{1}{2} \right ) \cup \left ( \frac{1}{2} ; \frac{1}{7}(\sqrt2+4) \right ) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} x^4+y^2=a^2 \\ x^2+y=|4a-2| \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$ \left ( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}; -1 \right )\cup (-1; -0.6)\cup (-0.6; \sqrt{2}-2) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x-(2a+2))^2+(y-a)^2=1 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$(1-\sqrt{2}; 0)\cup(0; 1.2) \cup (1.2; 3\sqrt{2}-3) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} (x-(3-a))^2+(y-2a)^2=9 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$(-9.25; -3)\cup (-3;3)\cup (3; 9.25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} y=(a+3)x^2+2ax+a-3 \\ x^2=y^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  2. $$(-4.25;-2)\cup(-2;2)\cup(2;4,25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} y=(a+2)x^2-2ax+a-2 \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
  3. $$(-4.25; -2)\cup (-2;2)\cup (2; 4.25)$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} y=(a-2)x^2-2ax-2+a \\ y^2=x^2 \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$ (-\infty ; -3)\cup (-3; 0)\cup (3;\frac{25}{8}) $$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
     
     \( \left\{\begin{matrix}\begin{array}{lcl} ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0 \\ x^2+y=xy+x \end{array}\end{matrix}\right. \)
     
     уравнений имеет ровно четыре различных решения.
• 1. $$\left [ 0; \frac{2}{3} \right ]$$Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
     
     \( \sqrt{x+2a-1}+\sqrt{x-a}=1 \)
     
     имеет хотя бы одно решение.

19: Числа и их свойства

СПАСИБО

Проекты

1. «Ягубов.РФ» [Учителя]
2. «Ягубов.РФ» [Математика]
3. «Ягубов.РФ» [Группа ВК]
4. «РЕШУ ЕГЭ»
5. «Школково»
6. «Кот и Лис»
7. «AlexLarin»
8. «4ege»
9. «ЕГЭ 100БАЛЛОВ»

Люди

1. Никита Андреевич Рязанов
2. Ирина Витальевна Павлова
3. Татьяна Дмитриевна Реутская
4. Ларин Александр Александрович
5. Дмитрий Дмитриевич Гущин
6. Шеховцов Виктор Анатольевич
7. Ягубов Роман Борисович
8. Татьяна Вячеславовна
9. Диана Ермакова
10. Олег Суханов
11. Николай Гладышев
12. Галина Воробьёва
13. Давид Миносян
14. Жаннат Сидишева
15. Рамазан Саттаров
16. Андрей Иванов
17. Иван Зотов
18. Андрей Яковлев
19. Elena Khazhinskaya
20. Лёша Бывченко
21. Вадим Швець
22. Галина Васильевна
23. Галина Сосновская
24. Виктория Терехова
25. Minko Pheniko
26. Jack Williams