В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М1 и М2 так, что АМ1 меньше АМ2. Через точки М1 и М2 провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность. а) Докажите, что АМ1 : ВМ2 = 1 : 3. б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD = 6√3 , AC =16 .
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n , при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Стороны AD и BC трапеции ABCD параллельны, прямые BC и CD — касательные к окружности, описанной около треугольника ABD. а) Докажите, что треугольники ABD и BCD подобны. б) Найдите площадь треугольника BCD, если известно, что AD = 8, а угол ABD = 120.
